Chi Kuadrat

KATA PENGANTAR

Bila mana seorang penyelidik mengadakan research tentang kecerdasan, maka ia mengadakan test kecerdasan atau semacamnya untuk memperoleh angka-angka sebagai petunjuk kwalitas kecerdasan. Angka-angka sebagai hasil dari pengukuran yang berupa test ini disebut nilai variabel.

Disamping penyelidikan yang mencurahkan perhatian kepada pengukuran untuk memperoleh nilai-nilai, ada penyelidikan macam lain dalam mana penyelidik lebih berminat menyelidiki frekwensi individu-individu yang termasuk dalam suatu kategori sifat atau cirri gejala dengan jalan penghitungan atau counting. Sebagai contoh misalnya, kita mungkin ingin mengetahui sikap rakyat terhadap koedukasi (sekolah campuran antara murid-murid puteri dan putera). Untuk ini kita mengambil suatu sampel yang terdiri dari 200 orang dan mengajukan pertanyaan kepada mereka untuk memperoleh pendapat mereka. Kita misalkan jawaban mereka adalah 115 orang mengatakan pro dan 85 orang mengatakan kontra. Kita mempersoalkan, apakah perbandingan semacam itu juga akan kita jumpai kalau kita mengadakan penyelidikan-penyelidikan yang sama terhadap jumlah penduduk yang jauh lebih besar? Apakah perbedaan banyaknya mereka yang pro dan mereka yang kontra itu tidak hanya disebabkan oleh kesalahan (fluktuasi) sampling? CHI KWADRAT (baca KAI KWADRAT) adalah suatu teknik statistik yang memungkinkan penyelidik nilai probabilitas memperoleh perbedaan frekwensi yang nyata (yang diobservasi) dengan frekwensi yang diharapan. Dalam kategori-kategori tertentu sebagai akibat dari kesalahan sampling.

Sebagai bagian daripada statistik inferensial chi kwadrat dapat digunakan untuk mengadakan estimasi maupun untuk pengetesan hipotesa. Di bawah ini secara berturut-turut akan dibicarakan lebih dahulu chi kwadrat untuk estimasi, kemudian disambung dengan chi kwadrat untuk pengetesan hipotesa.

PEMBAHASAN

Prinsip-prinsip penggunaan:

1.      Hanya dapat dipergunakan pada data kualitatif

2.      Dapat dipergunakan pada sampel dari berbagai macam ukuran (sampel size) selama tidak menyimpang dari ketentuan butir 9 dan 10. Juga dapat dipergunakan pada berbagai macam katagori

3.      Hitungan akhir selalu melibatkan angka sebenarnya (frekuensi) bukan prosen atau proporsi

4.      Untuk setiap kategori, perbedaan nilai pengamatan (observed value) dan nilai harapan (expected value) dihitung, selanjutnya dikuadratkan dan dibagi dengan nilai harapan sehingga secara keseluruhan rumus perhitungan menjadi:

Rumus 1:

=                  

Dengan ketentuan f_o adalah harga yang diamati, dan f_h adalah harga harapan, semakin besar sampel size maka semakin besar pula harga sehingga mempunyai tendensi meningkat dengan meningkatnya sampel size. Jumlah kategori mempengaruhi besar DF (degrees of freedom) yang juga akan mempengaruhi bentuk distribusi teoritis chi kuadrat. Makin besar DF makin besar pula titik kritisnya pada tingkat kepercayaan tertentu.

5.      Bila ingin membandingkan dua atau lebih distribusi sampel maka uji yang sesuai adalah

r x c contingency chi square. Data disusun menurut r – baris (r = 2,3,…x) dan menurut c-kolom (c = 2,3,…x) mempunyai db = (r-1)(c-1). Nilai harapan diperoleh dari perkalian jumlah data pada kolom dengan jumlah data pada baris kemudian dibagi dengan jumlah total data. Rumus untuk menghitung f_h adalah sebagai berikut:

   Dimana:

                                    f_h  = frekuensi harapan

                                    n_c = jumlah kolom

                                    n_b = jumlah baris

                                    n_t  = jumlah total data

6.      Bila distribusi sampel berasal dari satu populasi maka uji yang sesuai adalah chi kuadrat. Dalam hal ini nilai harapan diperoleh dari proporsi distribusi populasi dan mempunyai db= r-1 atau c-1

7.      Bila ingin mengetahui asosiasi atau korelasi diantara dua variabel dari data kualitatif, maka lakukan uji chi kuadrat dulu. Jika dalam pengujian, h_o ditolak maka dapat dilanjutkan dengan menghitung koefisien kontingensi dengan rumus:

Rumus 2:

C =                                     Dimana: N =  jumlah sampel (sampel size)

                                                                           C =  koefisien kontingensi

                                                                           dengan C selalu lebih dari nol.        

8.      Distribusi sampling chi kuadrat akan sesuai dengan distribusi teoritis chi kuadrat bila: frekuensi harapan setiap sel tidak boleh kurang dari satu, dan banyaknya sel yang mempunyai frekuensi harapan kurang dari 5 (f_h < 5) tidak boleh lebih dari atau sama dengan 20%  dari jumlah sel seluruhnya.

9.      Jika tidak sesuai dengan ketentuan diatas, kategori-kategori tertentu yang sesuai digabung. Sehingga jumlah sel lebih sedikit dan frekuensi harapan baru memenuhi syarat. Penggabungan ini menyebabkan sel dalam tabel menjadi 2x2 dan bila masih tidak memenuhi syarat maka uji statistik yang digunakan adalah fisher’s exact test.

10.  Untuk db =1 diperlukan koreksi yang disebut koreksi yates. Besarnya koreksi itu ialah 0,5 hingga rumus itu menjadi :

Rumus 3:

11.  Pada umumnya chi kuadrat hanya dapat digunakan untuk uji independensi antar faktor pada satu sampel dengan faktor yang bersifat bebas (independent). Chi kuadrat tidak dapat dipergunakan pada sampel korelasi atau correlated sample (misal rancangan penelitian sebelum-sesudah pada data kualitatif) dan dalam hal ini harus menggunakan McNemar symetri chi square test.

CHI KWADRAD SEBAGAI ALAT UNTUK ESTIMASI

Dengan menggunakan chi kwadrat kita dapat menggunakan pernilaian probabilitas perbedaan frekwensi dalam sampel dari frekwensi dalam populasi sebagai akibat dari kesalahan sampling. Adapun frekwensi dalam populasi itu dapat didasarkan atas informasi yang diperoleh dari suatu sumber, atau dpat juga didasasrkan atas suatu hipotesa. Dalam contoh di atas, kalau tidak ada sumber-sumber lain yang member ketentuan, kita mengjukan hipotesa bahwa dalam populasi frekwensi dari mereka yang pro dan kontra koedukasi terbagi rata (50% lawan 50%). Kita menanyakan, mengapa kita peroleh perbandingan 115 dengan 85 antara mereka yang pro dan yang kontra dari suatu sampel yang kita ambil secara random? Apakah perbedaan itu hanya semata-mata disebabkan oleh kesalahan sampling, ataukah memang dalam populasi terdapat perbedaan semacam itu?

Kalau kita mengharapkan frekwensi dari mereka yang pro dan yang kontra terbagi rata, maka frekwensi yang diharapkan adalah yang pro 100 orang dan yang kontra 100 orang, dalam sampel yang jumlahnya 200 orang itu, frekwensi yang diperoleh (disingkat f_o) dan yang frekwensi yang diharapkan (disingkat f_h) dari mereka yang pro dan yang kontra dapat ditunjukkan dalam tabel sebagai berikut.

Tabel 1

FREKWENSI YANG DIPEROLEH DAN YANG DIHARAPKAN DARI SUATU SAMPEL YANG TERDIRI ATAS 200 ORANG PENDUDUK

Sikap terhadap ke-edukasi	Frekwensi yang diperoleh (fo­)	Frekwensi yang diharapkan (fh)
Pro	115	100
Kontra	85	100
total	200	200

Dalam membuat tabel untuk mengerjakan chi-kwadrad kita terikat pada suatu ketentuan yang harus kita perhatikan, yaitu bahwa jumlah f_o harus sama dengan jumlah f_h. dalam tabel di atas ketentuan ini telah kita perhatikan yaitu masing-masing f_o=200 dan f_h=200.

Untuk memeriksa tabel 1.1 kita dapat melihat bahwa ada perbedaan f_o dengan f_h. makin besar perbedaan semacam itu makin kecil probabilitasnya (kemungkinannya) bahwa perbedaan itu semata-mata disebabkan oleh kesalahan sampling.

RUMUS BANGUN UNTUK CHI-KWADRAD

Rumus bangun yang umum untuk chi-kwadrad adalah sebagai berikut:

χ²    = chi kwadrad

f_o   = frekwensi yang diperoleh dari (diobservasi dalam) sampel.

f_h    = frekwensi yang diharapkan dalam sampel sebagai pencerminan dari frekwensi yang diharapkan dalam populasi.

Untuk member penjelassan tentang bagaimana menggunakan rumus itu, marilah kita buat tabel persiapan perhitungan chi-kwadrad.

Sikap	fo	fh	fo - fh	(fo - fh)2
Pro Kontra	115 85	100 100	+15 -15	225 225	2,25 2,25
total	200	200	0	-	4,50

Dari perhitungan-perhitungan dalam tabel itu pada lajur yang terakhir kita dapat dengan mudah mengisi rumusnya.

  = 4,50

Jadi dengan hipotesa 50-50, yaitu 50% pro dan 50% kontra, kita memperoleh nilai : x² = 4,50

Apa artinya angka 4,50 ini?

 Interpretasi tentang nilai x² pada dasarnya tidak berbeda dengan interpretasi tentang nilai-t.   Disini kita ingin mengadakan estimasi tentang populasi dari kenyataan yang kita peroleh dari sampel yang kita pilih secara random. Kita mengajukan hipotesa bahwa populasi tidak berbeda dengan sampel dalam jumlah frekwensi dalam dua kategori penyelidikan, yaitu kategori pro dan kontra koedukasi atau dinyatakan dalam bentuk hipotesa nihil : “tidak ada perbedaab frekwensi dari yang pro dan yang kontrakoedukasi antara sampel dan populasi.” Kita menanyakan bagaimana probabiloitas x² yang sebesar atau lebih besar dari nilai yang kita peroleh itu disebabkan oleh kesalahan sampling kita? Bilamana nilai x² yang kita peroleh itu terjadinya hanya 5% atau 1% dari seluruh kejadian, maka kita tolak hipotesa atas dasar taraf signifikasi 5% dan 1%.

Untuk menilai frekwensi yang diperoleh, kita memerlukan suatu tabel yang memuat distribusi x² yang diharapkan. Tabel semacam ini disediakan  di bagian belakang , yang disebut tabel chi-kwadrad. Tabel ini hanya memuat nilai-nilai chi-kwadrad dengan derajad kebebasan dari 1 sampai dengan 30 dengan berbagai taraf signifikan. Tidak seperti nilai r dan nilai t, nilai x² selalu makin meningkat bersamaan dengan meningkatnya derajad kebebasan.

DERAJAD KEBEBASAN UNTUK CHI-KWADRAD

Derajad kebebasan atau d.b. untuk nilai-nilai x² tidak tergantung kepada jumlah individu dalam sampel. Derajad kebebasan itu diperoleh dari kenyataan berapa banyaknya kebebasan yang kita miliki dalam menetapkan isi petak-petak yang diharapkan dalam tabel kita. Untuk mengerti ini kita periksa tabel berikut:

Kategori                      fo                          fh
I II	a	m
	b	n
Jumlah                 (a+b)              (m+n)

Sudah dinyatakan bahwa dalam mengerjakan chi-kwadrad kita terikat oleh suatu syarat, yaitu jumlah frekwensi yang diperoleh harus sama dengan jumlah frekwensi yang diharapkan. Atau dalam skema di atas (a+b) harus sama dengan (m+n). oleh sebab itu kita tidak mempunyai kebebasan lagi untuk menetapkan jumlah frekwensi yang diharapkan, yaitu (m+n). jadi derajad kebebasan yang kita ,iliki dalam mengisi petak-petak f_h tinggal lagi satu, yaitu atau kebebasan dalam menetapkan m, atau dalam menetapkan n.

Dengan d.b.=1 kita periksa tabel         . bilamana kita sudah menetapkan salah satu taraf signifikasi, katakana 5%, maka ketentuannya yaitu jika     5%, nilai chi-kwadrad yang kita peroleh, atau x² itu kita katakana signifikan, dan sebagai konsekwensinya hipotesa (nihil) akan kita tolak. Sebaliknya jika    5% nilai  itu akan kita katakan nonsignifikan, dan sebagai konsekwensinya hipotesa (nihil) akan kita terima (ketentuan semacam itu berlaku untuk semua pengetesan hipotesa nihil; perhatikan betul-betul bahwa ketentuan itu berlaku juga untuk pengetesan nilai-t dan nilai-r).

Nilai  = 4,50, sedang dengan taraf signifikansi 5% dengan d.b. = 1 nilai  = 3,841. Dengan demikian   itu signifikan, karena ia sudah melebihi   yang kita pandang sebagai bilangan x² maksimal sebagai akibat dari kesalahan sampling atas dasar taraf signifikasi 5%. Konsekwensinya, jika kita yakin bahwa sarat sampel random telah kita penuhi, maka kita tolak hipotesa nihil yang mengatakan bahwa setengah dari populasi setuju koedukasi dan setengahnya lagi tidak setuju adalah kurang mungkin jika kita memperoleh nilai x² sebesar 4,50 dari perbandingan pro dan kontra koedukasi sebesar 115:85 dari sampel yang kita ambil secara random bila mana 50:50 dari populasi pro dan kontra. Dengan kata lain, harapan bahwa setengah-setengah dari jumlah populasi akan pro dan kontra koedukasi tidak dapat kita terima atas dasar bahan-bahan yang kita kumpulkan dari random sampel.

Akan tetapi jika kita periksa kembali tabel diatas, ternyata bilamana kita menggunakan taraf signifikansi  %, hipotesa nihil akan kita terima. Nilai x² = 4,50 sedangkan nilai  1% = 6,635.   Ini berarti bahwa nilai x² sebesar atau lebih besar dari 6,635 yang terjadi hanya 1% dari seluruh kejadianlah yang kita pandang sebagai batas penerima nilai x² yang kita peroleh karena kesalahan sampling. Oleh karena itu hipotesa nihil yang ditetapkan semula, kita terima atas dasar taraf signifikasi 1%. Dengan kata lain, kita mengharapkan bahwa jika dilakukan pemungutan suara secara meluas, hasilnya akan 50% pro dan 50% kontra koedukasi.

Contoh:

Suatu perusahaan penggorengan kopi ingin menetapkan apakah masyarakat lebih senang kopi cap “anjing” (yang digoreng dengan suatu cara) atau cap “kucing” (yang digoreng dengan cara lain) yang diproduksi oleh perusahaannya. Perusahaan itu kemudian “menyewa” seorang penyelidik untuk member laporannya tentang kesenangan masyarakat itu  untuk menetapkan kopi cap apa yang harus diproduksi secara besar-besaran tahun depan. Hasil penyelidikan terhadap suatu sampel random yang terdiri dari 400 orang konsumen kopi perusahaan itu terlihat dalam tabel sebagai berikut:

TABEL 2

FREKWENSI YANG DIPEROLEH DAN YANG DIHARAPKANDARI 400 ORANG PEMINUM KOPI PERUSAHAAN ALPHA

Pilihan	fo	fh
Cap anjing Cap kucing	240 160	200 200
Total	400	400

Untuk mengadakan estimasi tentang keadaan populasi dipakai hipotesa bahwa setengah dari konsumen minum kopi cap anjing, dan setengah dari konsumen meminum kopi cap kucing. Bilamana bahan-bahan itu kita masukkan dalam tabel kerja, maka hasilnya akan sebagai berikut:

Pilihan	fo	fh	fo - fh	(fo - fh)2
Cap anjing Cap kucing	240 160	200 200	+40 -40	1.600 1.600	8,00 8,00
Total	400	400	0	-	16,00

Jadi        = 16,00

Derajad kebebasan untuk ini adalah satu (diperoleh dengan cara seperti tersebut dalam contoh pertama). Nilai x² yang diharapkan sebagai batas kesalahan sampling dengan taraf signifikasi 5% adalah 3, 841, dengan taraf signifikasi 1% adalah 6,635. Ternyata bahwa nilai x² yang kita peroleh dari random sampel itu jauh di atas batas signifikansi 5% maupun 1%. Dengan demikian hipotesa nihil ditolak: dapat diharapkan ada perbedaan yang signifikan dalam populasi antara frekwensi peminum kopi cap anjing dengan frekwensi peminum kopi cap kucing. Apa saran penyelidik itu kepada perusahaan kiranya sudah jelas : produksi lebih banyak kopi cap anjing dari pada kopi cap kucing.

TABEL DENGAN BANYAK SEL

Chi kuadrat tidak hanya terbatas untuk mengetes hipotesa perbedaan frekuensi antaradua kelompok dengan dua kategori (tabel 2x2 atau tabel 4 petak), melainkan juga dapat digunakan untuk mengetes hipotesa perbedaan frekuensi antara banyak kelompok dengan beberapa kategori. Cara menghitungnya pada dasarnya sama. Demikian juga dalam menetapkan derajat kebebasannya.

D.b. diperoleh dari rumus:

d.b. = (baris - 1)  (kolom - 1)

Jadi, dengan tabel 3x2 (tiga baris dua kolom) d.b.nya ada (3-1) (2-1) = 2. Demikian juga dalam tabel 2x3 . (dua baris tiga kolom) d.b. nya= 2. Dalam tabel 3x3 d.b. nya = (3-1) (3-1)= 4, dan dalam tabel 2x5 d.b.nya= 1x4= 4.

Berikut contoh-contoh penggunaan chi kuadrat pada pengetesan hipotesa terhadap lebih dari dua sampel dan menyangkut lebih dari dua kategori. Suatu penyelidikan tentang pendapat rakyat telah dilakukan dengan angket. Pertanyaannya adalah: “Apakah pada waktu ini keluarga anda lebih makmur, sama saja, atau kurang makmur dari pada dua tahun yang lalu?” Hasil penyelidikan tercantum dalam tabel di halaman berikut. Yang diselidiki semuanya ada  5.000 keluarga dari empat golongan kelas sosial ekonomi. Kelas A adalah kelas yang paling makmur, sedang kelas D adalah kelas yang paling kurang makmur. Jawaban mereka diklasifikasikan dalam empat golongan, yaitu”lebih”, “sama saja”, “kurang”, dan “tidak dapat menentukan”.

Namun, dalam hal ini, rumus untuk menghitung  dalam tabel 2x2 sperti penjelasan di atas tidad dapat digunakan. Ada rumus lain yang lebih praktis digunakan dalam kasus ini dan tidak menghabiskan banyak waktu. Namun, bila tidak ada alat hitung yang cukup besar, rumus ini justru menjadi tidak praktis sama sekali. Oleh karena itu, kita harus puas dengan menggunakan rumus aslinya, yaitu:

Cara mengisi sel  , yaitu pertama, jumlahkan tiap-tiap kategori. Kemudian, jumlahkan frekuensi dalam tiap-tiap golongan subskrip sampel. Akhirnya setelah diketahui N-nya, masukkan bilangan-bilangan itu ke dalam rumus sebagai berikut:

Atau dapat disingkat dengan:

Untuk penyelesaian contoh soal di atas bisa dengan bantuan membuat tabel  dan tabelsecara terpisah lalu memasukkan semua hasil perhitungannyake dalam tabel kerja yang sesungguhnya. Berikut tabel  dan tabel.

Tabel 1.

	Golongan (sub sampel)				Jumlah Kategori
Respon	A	B	C	D
Lebih makmur	115	375	460	250	1.200
Sama saja	245	690	920	440	2.295
Kurang makmur	125	375	540	270	1.310
Tidak tentukan	25	60	80	40	195
Jumlah golongan	500	1.500	2.000	1.000	5.00

Tabel 2

	Golongan (subsampel)				Jumlah Kategori
respon	A	B	C	D
Lebih makmur	120				1.200
Sama saja		668,5			2.295
Kurang makmur					1.310
Tak tentukan			78	39	195
Jumlah golongan	500	1.500	2.000	1.000	5.000

Bilangan-bilangan seperti terdapat dalam tabel 2 di atas diperoleh dengan rumus , yang cara mengerjakannya sebagai berikut:

Untuk kelas A kategori “lebih makmur” :  = 120.

Untuk kelas B kategori “sama saja” :  = 688,5.

Untuk kelas C kategori “tak tentukan” : .

Untuk kelas D kategori “tak tentukan” : .

Dengan cara yang sama sel-sel   yang lainnya dapat diisi dan memasukkannya dalam tabel kerja yang sesungguhnya (lihat tabel di bawah).

Tabel 3. Tabel Cerja untuk ContohMengerjakan Chi Kuadrat dari Banyak Sampel (Bahan dari Tabel 1 dan 2)

Gol Sos-Ek. Kategori jawaban
Kelas A Lebih makmur Sama saja Kurang makmur Tak tentukan	115 245 125 15	120,0 229,5 131,0 19,5	-5,0 +15,5 -6,0 -4,5	25,00 240,25 36,00 20,25	0,208 1,047 0,275 1,038
Jumlah Golongan:	500	500	0,0	-	2,568
Kelas B Lebih makmur Sama saja Kurang makmur Tak tentukan	375 690 375 60	360,0 688,5 393,0 58,5	+15,0 +1,5 -18,0 +1,5	225,00 2,25 324,00 2,25	0,625 0,003 0,824 0,038
Jumlah Golongan:	1500	1500	0,0	-	1,490
Kelas C Lebih makmur Sama saja Kurang makmur Tak tentukan	460 920 540 80	480,0 918,0 524,0 78,0	-20 +  2,0 +16,0 +2,0	400,00     4,00 256,00     4,00	0,833 0,004 0,489 0,051
Jumlah Golongan:	2000	2000	0,0	-	1,377
Kelas D Lebih makmur Sama saja Kurang makmur Tak tentukan	150 440 270 40	240,0 459,0 262,0 39,0	+10,0 -19,0 +8,0 +1,0	100,00 361,00 64,00 1,00	0,417 0,786 0,244 0,026
Jumlah Golongan:	1000	1000	0,0	-	1,473
Total Jendral:	5000	5000	0,0

Seperti terlihat dalam tabel 3 di atas, dalam kolom yang terakhir nilai  yang diperoleh adalah 6,908. Derajat kebebasan dari bahan itu dapat diperoleh dengan mengingat banyaknya sampel (mewakili kolom dalam tabel kontingensi) dan banyaknya kategori (mewakili baris dalam tabel kontingensi). Seperti yang diketahui, sampel ada sebanyak empat sampel (sub-sampel), yitu sampel-ssampel kelas A, B, C, dan D. Jadi jumlah kolomnya = 4. Kategori yang digunakan jumlahnya juga 4. Jadi, ada 4 baris. Dengan demikian, d.b. dari tabel itu adalah (4-1) (4-1) = (3) (3) = 9.

Dengan d.b. = 9 itu tabel tersebut menunjukkan bahwa nilai   = 6,908 yang diperoleh itu masih jauh berada di bawah batas kemungkinan kesalahan teoritik, yaitu 16,919 pada taraf signifikansi 5% dan 21,666 pada taraf signfikansi 1%. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa keempat kelas sosial ekonomi itu tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan dalam frekuensi jawaban mereka terhadap pertanyaan yang diajukan kepada mereka.

Contoh Soal:

Suatu penyelidikan hipotetik dilakukan terhadap anak-anak dari SMP, SMA, dan mahasiswa-mahasiswa di Universitas tentang kesukaan mereka membaca buku-buku. Pertanyaan yang diajukan adalah: “Buku bacaan apa yang paling disenangi: petualangan, percintaan, keajaiban, atau buku-buku ilmiah?”. Jumlah orang yang diselidiki adalah 350 orang. Hasil-hasil yang yang dikumpulkan disusun dalam tabel berikut:

Tabel 4. Tabel Frekuensi yang Diperoleh

Sampel	Buku kesenangan				Total
	Petualangan	Percintaan	Keajaiban	Ilmiah
SMP	24	19	36	46	125
SMA	41	26	20	38	125
Universitas	35	22	23	20	100
Total	100	67	79	104	350

Frekuensi yang diharapkan dapat diperoleh dengan rumus:

Dengan rumus itu, akan diperoleh frekuensi-frekuensi yang diharapkan seperti berikut:

Tabel 5. Tabel Frekuensi yang Diharapkan

Sampel	Buku kesenangan				Total
	Petualangan	Percintaan	Keajaiban	Ilmiah
SMP	35,71	23,93	28,22	37,14	125
SMA	35,71	23,93	28,22	37,14	125
Universitas	35,71	19,14	22,56	29,72	100
Total	100,00	67,00	79,00	104,00	350

Dengan  dan  yang telah diperoleh, dapat dibuat tabel kerja seperti berikut:

Tabel 6. Tabel Kerja untuk Mencari Chi Kuadrat dari Bahan-bahan dalam Tabel 4 dan 5.

Sampel Kategori
SMP Petualangan Percintaan Keajaiban Ilmiah	24 19 36 46	35,71 23,93 28,22 37,14	-11,71 -4,93 +7,78 +8,86	137,1241 24,3049 60,5284 78,4996	3,8399 1,0157 2,1449 2,1136
Jumlah Golongan:	125	125,00	0,00	-	9,1141
SMA Petualangan Percintaan Keajaiban Ilmiah	41 26 20 38	35,71 23,93 28,22 37,14	+5,29 +2,07 -8,22 +0,86	27,9841 4,2849 67,5684 0,7396	0,7836 0,1791 2,3943 0,0199
Jumlah Golongan:	125	125,00	0,0	-	3,3769
Universitas Petualangan Percintaan Keajaiban Ilmiah	35 22 23 20	28,58 19,14 22,56 29,72	+6,42 +2,86 +0,44 -9,72	41,2164 8,1796 0,1936 94,4784	1,4421 0,4274 0,0086 3,1790
Jumlah Golongan:	100	100,00	0,0	-	5,0571
Total Jendral:	350	350,00	0,0

Derajat kebebasan dari tabel itu adalah (3-1) (4-1) = 6. Ternyata nilai  yang diperoleh itu melewati nilai batas teoritik atas dasar taraf signifikansi 1%, yaitu 16,812. Kesimpulannya adalah: ketika kelompok itu berbeda secara signifikan dalam pemilihan buku-buku bacaanseperti yang ditunjukkan oleh hasil angket itu.

CHI KWADRAD SEBAGAI ALAT MENGETES SIGNIFIKANSI KORELASI

Teknik statistic digunakan untuk hal-hal sebagai berikut.

1)      Chi kwadrad adalah alat untuk mengadakan estimasi. Sebagai alat estimasi chi kwadrad digunakan untuk menaksir apakah ada perbedaan yang signifikan ataukah tidak antara frekuensi yang diobservasi dalam sample dengan frekuensi yang diharapkan dalam populasi. Frekuensi yang diharapkan dalam populasi ini kadang-kadang disebut juga frekuensi hipotetik, karena ia digunakan sebagai hipotesa yang akan diuji dengan frekuensi yang  diperoleh dari sample. Oleh karena itu dalam pengertian yang longgar chi kwadwrad sebagai alat estimasi diberi kedudukan juga sebagai alat pengetesan hipotesa.

2)      Chi kwadrad sebagai alat mengetes hipotesa. Dalam pengertian yang sempit tiap-tiap pengetesan hipotesa harus membandingkan sedikitnya dua sample. Karena itu dalam kedudukannya sebagai alat pengetesan hipotesa ini apa yang ingin dijawab olehnya adalah masalah apakah frekuensi yang diperoleh dalam sample yang satu berbeda secara signifikan ataukah tidak dengan sample lainnya dalam kategori-kategori tertentu, seandainya penyelidikan dilakukan terus-menerus dengan sample-sampel yang sama. Hipotesa nihil yang hendak dites di sini adalah bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan di antara frekuensi yang diperoleh atau f_o dengan frekuensi yang diharapkan atau f_h

3)      Kecuali sebagai alat mengetes hipotesa perbedaan frekuensi, chi kuadrad juga merupakan alat untuk mengetes hipotesa tentang ada tidaknya korelasi antara dua dibicarakan di atas, ketiga kelompok subjek yang berbeda tingkatan pendidikannya, yaitu SMP, SMA, dan Universitas, berbeda secara signifikan dalam pemilihan buku-buku bacaan. Sebenarnya kesimpulan itu dapat dibyatakan dengan cara lain, yaitu bahwa ada korelasi yang signifikan antara tingkatan pendidikan dengan pilihan buku-buku bacaan.

Adanya korelasi itu menunjukkan bahwa tingkatan pendidikan tertentu menunjukkan kecenderungan tertentu dalam memilih buku-buku bacaan.

            Dari pembicaraan di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa sebenarnya hipotesa yang hendak dites dengan chi kwadrad dapat dinyatkan dalm dua bentuk.

            Pertama, dalam bentuk perbedaan frekuensi. Hipotesa secara umum berbunyi: frekuensi-frekuensi yang diperoleh dalam sample-sampel yang diselidiki tidak berbeda secara signifikan dengan frekuensi-frekuensi yang diharapkan dalam populasi dalam kategori-kategori tertentu.

            Kedua, dalam bentuk korelasi. Hipotesanya berbunyi : tidak ada korelasi antara kolom dan baris.

CHI KWADRAD DENGAN DERAJAT KEBEBASAN LEBIH DARI 30

Akhirnya perlu dilengkapkan pembicaraan ini dengan kemungkinan menghadapi perhitungan chi kwadrad dengan derajat kebebasan yang lebih besar dari 30. Rumus untuk menghitung nilai probabilitas nilai chi kwadrad yang diperoleh dengan kurve normal adalah sebagai berikut.

Dimana:

χ² = nilai chi kwadrad yang kita peroleh.

db = derajat kebebasan dari table kontingensi kita.

jadi misalnya kalau kita memperoleh nilai χ2 sebesar 81,50 tabel kontingensi 26x3, maka

 

Dengan     = 2,82 ini kita periksai table kurve normal. Kita lihat,     sebesar 2,82 itu meliputi 49,76% daerah sebelah kurve normal, atau seluruhnya ada 2(49,76%)= 99,52%. Dengan demikian maka hipotesa yang diajukan sebelum penyelidikan ditolak, baik atas dasar taraf signifikansi 1%, apalagi 5 %.

Dalam beberapa situai nilai chi kuadrad yang kita perolehadalah sedemikian kecilnya sehingga setelah disalin ke dalam   menghasilkan nilai negative. Dalam hal semacam ini, persentase daerah kurve normal yang sesuai dengan nilai          itu denaikkan dengan menambahnya 50%, dihitung dari ujung distribusi. Jadi misalnya kita memperoleh nilai chi kuadrad =42,530 dari table 25x3. diubah menjadi nilai z atau .

Dengan nilai z sebesar -0,52 itu kita periksai table kurve normal. Dengan z =-0,52 itu kita lihat daerah kurve dari mean sebesar 19,85%. Akan tetapi dalam situasi kita sekarang, daerah sebesar itu tidak kita hitung dari mean, melainkan kita tambahkan pada 50% daerah dari ekor distribusi. Dengan demikian kita mengharapkan kemungkinan sebesar 69,85% dari seluruh kejadian kita akan memperoleh nilai chi kwadrad sebesar atau lebih besar dari 42,530.

Yang dimaksud dengan petak kecil adalah petak yang frekuensinya kurang dari 5. chi kuadarad kurang dapat memberikan gambaran yang memuaskan bilamana ada petak kecil dalam table kontingensi yang dikerjakan. Kesimpulan yang agak memuaskan baru dapat diperoleh bilamana diadakan suatu koreksi atau penyesuaian sebagaimana diuslkan oleh YATES terhadap petak yang kecil itu lebih dahulu sebelum perhitungan chi kuadrad dilakukan. Koreksi YATES itu berupa menambah ½ terhadap petak yang paling kecil dan menyesuaikan frekuensi-frekuensi lainnya sehingga jumlah kolom dan jumlah baris  sebelum dan sesudah koreksi masih tetap sama. Saying sekali, koreksi dan penyesuaian YATES hanya berlaku untuk table 2x2.

Contoh tentang petak-petak kecil dapat dilihat dalam table 60 A. data itu dimaksudkan untuk menyelidiki ada tidaknya korelasi antara kelulusan dan jenis kelamin. Table 60B menunjukkan data sesudah dikoreksi dan disesuaikan.

TABEL 60

JENIS KELAMIN DAN KELULUSANNYA

A.    Data yang diperoleh                                 

Sekse	L	G	Total
Pria Wanita	16 8	4 2	20 10
Total	24	6	30

B.     Data setelah disesuaikan

Sekse	L	G	Total
Pria Wanita	16,5 7,5	3,5 2,5	20,0 10,0
Total	24,0	6,0	30,0

  L = lulus

  G = gagal.

Pengkoreksian dilakukan terhadap frekuensi yang terkecil, yaitu dengan jalan menambahkan 0,5 terhadap frekuensi ini. Karena suatu ketentuan bahwa jumlah tidak dapat diubah-ubah maka frekuensi-frekuensi lain kemudian disesuaikan untuk mempertahankan ketentuan itu. Baru setelah pengkoreksian dan penyesuaian itu chi kuadrad dihitung dengan cara yang biasa. Dengan memakai rumus

χ2 =

kita peroleh

χ2 =

                =

            Dengan d.b =1 dan batas signifikansi 5%=6,635 kita menerima hipotesa nihilnya dan menyimpulkan bahwa kelulusan bukan kecendrungan salah satu jenis kelamin.

REALIBITAS SAMPEL KECIL

            Resiko kesalahan dalam penyelidikan dengan sample kecil selalu akan lebih besar  daripada resiko kesalahan dalam penyelidikan dengan sample besar. Seorang karyawan research yang teliti kiranya akan ragu-ragu menarik kesimpulan dari penyelidikan data seoerti tersebut dalam table 60 itu. Sebab kiranya sample penyelidikan diperbesar lima atau sepuluh kali lipat, pada umumnya hasil penyelidikannya akan berubah, dan perubahan hasil itu kadang-kadang sedemikian diperbesar lima atau sepuluh kali lipat, pada umumnya hasil penyelidikannya akan berubah, dan perubahan hasil itu kadang-kadang sedemikian besarnya sehingga agak sukar untuk mempercayai hasil penyelidikan dengan sample kecil yang semula.

            Sebagai ilustrasi daripada apa yang dikemukakan itu dapat kita selidiki dari contoh-contoh hipotetik seperti tersebut dalam table 61 dan table 62 di bawah ini.

TABEL 61 A

DATA HIPOTETIK TENTANG SEKSE DAN KELULUSANNYA

Sekse	L	G	Total
Pria Wanita	9 6	4 1	13 7
Total	15	5	20

TABEL 61 B

DATA TABEL 61 A SETELAH DIKOREKSI DAN DISESUAIKAN

Sekse	L	G	Total
Pria Wanita	9,5 5,5	3,5 1,5	13,0 7,0
Total	15,0	5,0	20,0

χ2 =

TABEL 62

10 KALI DATA TABEL 61 A

Sekse	L	G	Total
Pria Wanita	90 60	40 10	130 70
Total	150	50	200

χ2 =

Nampaklah dari contoh di atas bahwa perbedaan antara chi kuadrad yang sesuai dengan chi kuadrad dengan sample besar sangat menyoloknya sehingga mempersulit penarikan kesimpulannya. Dalam hal apapun penyelidik pasti selalu lebih meyakini hasil penyelidikan dari sample yang lebih besar, karena pada populasi-populasi yang tidak homogin besarnya sample selalu menjadi petunjuk tentang representativitas sample. Pada umumnya memang sangat sulit untuk mendemonstrasikan perbedaan atau korelasi yang signifikan dari sample kecil, sungguhpun jika diadakan penyelidikan secara besar-besaran perbedaan atau korelasi itu ada dalam kenyataannya. Seperti kita lihat dari contoh di atas, chi kuadrad sebesar 0,073 adalah jauh sekali dari batas signifikansi 5%, yaitu hamper-hampir mendekati bilangan batas signifikansi 5% itu.

CHI KUADRAT UNTUK MENGHITUNG PERBEDAAN PERSENTASE

Kecuali untuk menyelidiki signifikasi perbedaan frekuaensi yang biasa, chi kuadrat dapat juga digunakan untuk menilai signifikasi perbedaan frekuensi yang sudah diubah dalam presentase.

TABEL 63
DATA TENTANG SEKSE DAN KELULUSAN DALAM PER SEN
dalam %					dalam %
Sekse	Lulus	Gagal	Total		Sekse	Lulus	Gagal	Total
Pria	45	20	65		Pria	48,75	16,25	65,00
Wanita	30	5	35		Wanita	26,25	8,75	35,00
Total	75	25	100		Total	75,00	25,00	100,00

Dalam menggunakan chi kuadrat untuk menghitung perbedaan persentase, ada dua catatan penting yang perlu diperhatikan:

(1)   Terhadap petak yang kecil telah diadakan koreksi dan penyesuaian lebih dahulu. Sebabnya ialah karena probabilitas signifikasi sesuatu kejadian lebih tergantung kepada frekuensi yang nyata daripada frekuensi dalam presentase. Kita mengetahui bahwa untuk suatu mata uang logam yang dilemparkan 10 kali, munculnya 6:4 untuk kepala : ekornya tidak sama signifikannya dengan munculnya 60:40 untuk perbandingan kepala dan ekor jika mata uang itu dilemparkan 100 kali, sungguhpun perbandingan munculnya kepala dan ekor itu jika dinyatakan dalam persentase sama-sama 60% : 40%.

(2)   Nilai chi kuadrat yang diperoleh dari perhitungan-perhitungan frekuensi dalam persen harus diubah dahulu dalam nilai chi kuadrat dari perhitungan-perhitungan dengan frekuensi yang nyata, sebelum pengetesan signifikasi dilakukan. Pengubahan itu dilakukan dengan jalan mengalikan nilai chi kuadrat dengan N/100. dalam contoh di atas oleh karena frekuensi selanjutnya dijadikan dasar perhitungan adalah data dalam tabel 62 dengan N=200, maka chi kuadrat dalam persen yang kita peroleh itu harus kita kalikan dengan 200/100, atau sama dengan 3,296 x 2 = 6,592, suatu bilangan yang sama dengan yang sudah kita peroleh lebih dahulu, yaitu 6,593. Dengan chi kuadrat sebesar 6,593 itu pada taraf signifikasi 5% kita akan tetap menolak hipotesa bahwa perbedaan lulusan pria dan wanita adalah signifikan. Atau dinyatakan dalam bentuk korelasi, kita menolak hipotesa yang menyatakan bahwa antara jenis kelamin dan lulusan terdapat korelasi yang signifikan. Catat, karena derajat kebebasan daripada chi kuadrat tidak tergantung kepada N, melainkan kepada jumlah petak , maka baik dikerjakan dengan cara yang biasa, maupun dikerjakan melalui persentase, pengetesan nilai chi kuadratnya menggunakan derajat kebebasan yang sama.

BATAS PENGGUNAAN KOREKSI YATES

Perlu sekali lagi ditekankan bahwa korelasi YATES sayang sekali hanya dapat dikenakan pada tabel 2x2. Untuk tabel-tabel lebih besar daripada 2x2 ada cara lain untuk memperhitungkannya. Cara-cara ini akan dibicarakan dalam pasal dibawah ini.

PETAK KECIL DALAM TABEL GANDA-PETAK

TABEL 64
DATA TENTANG PILIHAN FILM DAN JURUSAN
Jurusan	Film kesukaan					Total
dalam fakultas	Petualangan	Sejarah	Perang	Roman	Song
Perniagaan	15	8	10	6	1	40
Sejarah	5	32	5	11	7	60
Seni Rupa	3	10	7	22	8	50
Seni Suara	6	6	5	13	20	50
Alam Pasti	12	6	47	8	7	80
Adm. Perusah.	79	8	16	10	7	120
Total	120	70	90	70	50	400

(1)   Membuang sama sekali data yang diperoleh dari jurusan perniagaan dan jurusan seni rupa karena dari kedua jurusan itu terdapat frekuensi-frekuensi kecil, yaitu 1 pada petak perniagaan-song dan 3 pada petak seni rupa-petualangan.

(2)   Mengkombinasikan jurusan-jurusan itu dengan jurusan-jurusan lain yang ”terdekat”, misalnya jurusan perniagaan dengan jurusan administrasi perusahaan dan jurusan seni rupa dengan jurusan seni suara. Tentu saja pengkombinasian semacam itu harus didasarkan atas alasan-alasan yang dapat dipertanggungjawabkan.

Baik ditempuh langkah membuang maupun langkah mengkombinasikan, penyelidik harus memperhatikan konsekuensinya dalam memperhitungkan derajat kebebasan. Untuk mendapatkan derajat kebebasan ini rumus d.b.=(b-1)(k-1) masih tetap berlaku. Jadi misalnya jika ditempuh langkah membuang data jurusan-jurusan perniagaan dan seni rupa, maka d.b.nya = (4-1)(5-1) =12, sedang jika ditempuh jalam mengkombinasikan kedua jurusan itu dengan jurusan-jurusan lainnya d.b.nya akan =(4-1)(5-1) =12 juga.

Umumnya jika yang ditempuh adalah langkah mengkombinasi, maka jurusan-jurusan yang dikombinasikan tetap kedua-duanya dicatat dalam melaporkan hasilnya, misalnya jika jurusan perniagaann dikombinasikan dengan jurusan administrasi perusahaan, kombinasinya menjadi jurusan perniagaan/administrasi perusahaan. Demikian jika jurusan seni rupa digabungkan dengan jurusan seni suara, maka kombinasinya akan menjadi seni rupa/seni suara atau seni rupa/suara.

Sebagai akibat dari pada langkah yang berbeda itu kadang-kadang diperoleh hasil yang berbeda pula. Mungkin juga terjadi bahwa dengan langkah pembuangan hasilnya hipotesa dapat diterima, tetapi dengan jalan pengkombinasian hasilnya hipotesa harus ditolak. Dalam keadaan semacam ini ada baiknya jika penyelidik melaporkan saja apa adanya. Artinya ia harus menghitung chi kuadrat dengan kedua langkah itu dan menyajikan apapun hasilnya dari kedua langkah yang berbeda itu.

CHI KUADRAT UNTUK MENGETES NORMALITAS

Sangat banyak teknik-teknik statistik yang berlandaskan kepada distribusi normal. Jika dari penyelidikan-penyelidikan yang terdahulu belum pernah dipastikan bahwa sesuatu gejala mengikuti ciri-ciri distribusi normal, mengetest apakah gejala yang diahdapi merupakan distribusi yang normal atau tidak merupakan keharusan yang mutlak.

Banyak cara yang dapat digunakan untuk mengetest normalitas suatu distribusi, misalnya saja dengan menyelidiki kejulingan (skewness) dan kurtosisnya. Chi kuadrat pun dapat digunakan untuk keperluan pengetesan normalitas itu.

Dari kurva normal kita mengetahui bahwa:

Nilai-nilai yang terletak	meliputi frekuensi sebesar:	atau dibulatkan
dari -3SD sampai -2SD	2,15%	2%
dari -2SD tsampai -1SD	13,59%	14%
dari -1SD sampai Mean	34,13%	34%
dari Mean sampai +1SD	34,13%	34%
dari +1SD sampai +2SD	13,59%	14%
dari +2SD sampai +3SD	2,15%	2%
Total	99,74%	100%

Dari ciri-ciri diatribusi normal teoritik itu kita dapat menguji apakah sesuatu distribusi empirik mengikuti ciri-ciri itu ataukah tidak. Hipotesa (nihil) yang hendak kita tes adalah bahwa  dari distribusi gejala yang kita selidiki tidak menyimpang secara signifikan dari  dalam distribusi normal teoritik.

Tabel 65 menunjukkan distribusi empirik daripada intelegensi yang diperoleh dengan THORNDIKE Intelligence Examination. Para ahli telah mengetahui bahwa intelegensi adalah salah satu gejala psikologik yang dengan tertib mengikuti ciri-ciri distribusi normal. Sungguhpun begitu kita andaikan pengetahuan itu belum ada pada kita, dan kita ingin menyelidiki buat pertama kalinya tentang normal tidaknya distribusi intelegensi. Mean dari distribusi itu = 81,59, dengan SD = 12,14. dari statistik-statistik itu kita dapat memperhitungkan interval nilai sepanjang distribusi yang terbagi menjadi 6 SD, yaitu dari -3SD sampai +3SD.

Jika nilai-nilai diatas kita bulatkan dan distribusi itu kita golong-golongkan kembali menjadi 6 golongan secara konvensional, maka akan kita jumpai distribusi seperti tercantum dalam tabel kerja dibawah ini. Kolom  diisi atas dasar persentase kurva normal sebelumnya.

TABEL 65
DISTRIBUSI NILAI-NILAI THORNDIKE INTELLIGENCE
EXAMINATION DARI 206 MAHASISWA TINGKAT I
Nilai
115-119	1
110-114	2	M = 31,9
105-109	4	SD = 12,14
100-104	10
99-94	13	Karena itu :
90-94	18	+2SD keatas = 105,87 keatas.
85-89	34	+1SD sampai +2SD = 93,43 – 105,87.
80-84	30	Mean sa,pai +1SD = 81,59 – 93, 43.
75-79	37	-1SD sampai Mean = 69,45 – 81,58.
70-74	27	-2SD sampai -1SD = 57,31 – 69,45.
65-69	15	-2SD kebawah = 57, 31 kebawah.
60-64	10
55-59	2
50-54	2
45-49	1
Total	206

Jika nilai-nilai di atas kita bulatkan dan distribusi itu kita golong-golongkan kembali menjadi 6 golongan secara konvensional, maka akan kita jumpai distribusi seperti yang tercantum pada tabel di bawah ini. Kolom  diisi atas dasar persentase kurva normal.

TABEL 66
TABEL KERJA UNTUK MENCARI PROBABILITAS NORMALITAS
DATA DALAM TABEL
Interval distandarisasi			-
106-119	6	4,12	+1,88	3,5344	0,8579
94-105	28	28,84	-0,84	0,7056	0,0245
82-93	66	70,04	-4,04	16,3216	0,2330
70-81	76	70,04	+5,96	35,5216	0,5072
58-69	26	28,84	-2,84	8,0656	0,2797
45-57	4	4,12	-0,12	0,0144	0,0035
Total	206	206,00	0,0		1,9058

Derajat kebebasan untuk tes signifikasi ini adalah jumlah sel  dikurangi satu, atau 6-1 =5. Dengan d.b.= 5 ini pada taraf signifikasi 5% batas penolakan hipotesanya =11,070.nilai chi kuadrat yang kita peroleh sebesar 1,9058 itu ternyata jauh di bawah batas penolakan, sehingga dengan demikian hipotesa kita diterima. Distribusi intelegensi yang diperoleh itu ternyata tidak menyimpang dari distribusi normal.

Cara pengetesan normalitas seperti yang dicontohkan diatas berlaku juga untuk semua penggolongan gejala yang kurang atau lebih dari enam golongan. Jika gejala digolongkan hanya menjadi tiga golongan, maka harus digunkan 2SD untuk tiap-tiap penggolongan. Sekiranya gejala diklasifikasi dalam 10 golongan, masing-masing golongan akan berjarak kira-kira 0,6SD. Jarak penggolongan dalam satuan SD ini didasarkan  atas teori bahwa  suatu distribusi normal teoritik terdiri dari 6SD. Pegangan pokok yang perlu diperhatikan adalah bahwa dalam usaha menggolong-golongkan gejala untuk keperluan pengetesan normalitas ini dua macam.statistika yang mutlak diperlukan adalah mean  dan standard deviasi  daripada skor gejala yang diselidiki.

SATU DUA CATATAN TENTANG BATAS-BATAS PENGGUNAAN CHI KUADRAT

Chi kuadrat memang merupakan salah satu teknik statistik yang kerapkali digunakan dalam penyelidikan-penyelidikan. Sungguhpun begitu, teknik ini mengandung dalam dirinya batas-batas penggunaan tertentu.

(1)    Chi kuadrat pada dasarnya hanya dapat digunakan untuk menganalisa data yang berwujud frekuensi. Perlu diingatkan kembali frekuensi adalah bilangan sebagai hasil daripada perhitungan atau counting.

(2)    Untuk pengetesan korelasi chi kuadrat hanya dapat menunjukkan apakah korelasi antara dua gejala (atau lebih) signifikan ataukah tidak. Dengan chi kuadrat sama sekali tak dapat diungkapkan kenyataan tentang besar-kecilnya korelasi yang diselidiki.

(3)    Pada dasarnya chi kuadrat belum dapat menghasilkan kesimpulan yang memuaskan untuk menyelidiki tabel-tabel kontingensi dengan petak-petak kecil. Korelasi YATES pada umumnya hanya digunakan sekiranya jalan lain tertutup untuk bekerja dengan sampel-sampel yang lebih besar. Jika jumlah individu dan jumlah sampel cukup banyak, cara membuang atau mengkombinasikan kategori-kategori yang mempunyai petak kecil memberikan hasil yang lebih memuaskan.

(4)    Chi kuadrat paling tepat digunakan pada data yang diperoleh dari sampel-sampel dan ketegori-kategori yang terpisah (eksklusif) satu sama lain. Data semacam ini disebut data kategorik, data diskrit, atau data nominal.

DAFTAR PUSTAKA

Cholil Munif, Muhammad. 1991. Chi Kuadrat Analisis Katagorik. Surabaya:Satgas Komputer Fakultas kedokteran Universitas Airlangga

Sudiana, I Ketut dan Maruli Simamora. 2004. Statistika Dasar. Singaraja: Jurusan Pendidikan Kimia, Fakultas MIPA, Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Negeri Singaraja

      Hadi, Sutrisno. 2000. Statistik. Yogyakarta: Penerbit Andi.